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Frobenius 代数, quasi-Frobenius 代数, 対称代数について, その絶対的かつ高次元のバージョンを定義し,
その基本的性質を調べた。特に, これらの性質が left-right symmetric であることを証明した。また, Scheja と Storch による, 相対的な概念としての Frobenius, 対称と我々が定義した絶対的な概念との関係について調べた。例として, 有限群のねじれ群環を調べた。また, 非可換の状況で, 余次元２の閉集合を抜いてもある種の加群圏が保たれる, という形の定理を証明した。

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橋本と Symonds の共同研究の成果の応用として, 三内によって定義された不変量である, dual F-signature が正の値を取る条件を加群の Frobenius 極限を調べることによって得た。応用として, 有限群の正標数の多項式環への擬鏡映を持たない作用で, その不変式環がF正則でない（これは群の位数が基礎体の標数で割れないことと同値である）が, F有理であるような例を初めて構成した。

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可換ネーターな中心上有限な（非可換）代数の上の加群について n 標準であるということを定義し, その基本的性質を調べた。応用として, Evans-Griffith　による, 加群が n 番目のシジジであるための条件を与える定理を一般化した荒谷・飯間の定理をさらに一般化した。その過程で, 高橋による (n,C)-torsion-free の定義の修正を行い, 高橋の示した結果の一部を余分な仮定なしで定式化して示した。また, 非可換な状況での標準加群を論じ, 可換な状況での青山による標準加群が平坦降下するという定理や Schenzel による標準加群の Cohen-Macaulay 性から環の Cohen-Macaulay 性を導く定理などを非可換化した。

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Hilbert-Kunz 重複度や F-signature といった, Frobenius 写像の漸近的振る舞いから来る数値的不変量を加群そのもので扱うため, ある種の Grothendieck 群に注目し, その群での加群の Frobenius 極限を定義した。上記数値的不変量は Frobenius 極限から計算される。これを有限群の多項式環への作用に応用し, 橋本と中嶋による一般化された F-signature に関する結果をモヂュラーな場合に一般化した。

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群スキームの作用するスキームについて, 因子類群の同変版である同変因子類群を階数１の反射的同変層の同型類がテンソルの２回双対によってなす群として定義を与え, その基本的性質を調べた。特に, 作用による商の上の因子類群との関係を調べた。応用として, 緩やかな仮定の下に, 代数的商をとる操作によって, 因子類群が有限生成アーベル群である, という性質は商に伝わることを示した。

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複素数体上の SL_2 の有限部分群の分類は古典的で非常によく知られていて, Du Val 特異点の分類と完全に対応している。正標数における Du Val 特異点の類似は２次元 Gorenstein F正則特異点であるが, SL_2 の有限部分群について, 不変式環がF正則になる条件は群の位数が標数を割らないことである。この条件で分類すると, 小さい標数において, 不変式環として現れない特異点があることが分かる。そこで, 有限群を（線形簡約な）有限群スキームに拡張すると, 小さい標数でも完全に結果が一致するような分類が得られることが分かった。

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Huneke と Leuschke による F-signature は正標数のネーター環について Frobenius 写像の繰り返しに関する漸近的な振る舞いによって定義される不変量で, 正則性, F 正則性といった性質をより細かく見ていくことを可能にする量であるが, これを環の上の加群に一般化したものを定義し, 多項式環に有限群が順に作用した時の不変式環について, 環のフロベニウス押し出しに現れる加群の一般化された F-signature を求める公式を与えた。

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素数標数の可換環に関してフロベニウス写像の有限性によって定義されるF有限性の概念を準同型についての概念に一般化し, その基本的性質を証明した。主定理として, F有限性が降下するための十分条件を与えた。その応用として, 素数標数のネーター環の間の忠実平坦被約な準同型によって, 環のF有限性は降下することを証明した。系として, Seydi による正標数の局所環の優秀性に関する結果を一般化した。

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可換環 R 上のアフィン平坦群スキーム F と, F の作用する R 代数 S に対して, 同変全焼環 Q_F(S) を定義し, その基本的性質を調べた。その応用として, (半)不変式環がいつ UFD になるかについての Popov による結果を一般化して, 新しい判定法を提出した。群スキームを用いた議論をすることで, いくつかの代数閉体上の結果は一般の体上での結果に一般化されている。

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群スキーム G が作用するスキーム上のイデアル層について, G 素, G 準素の概念を導入し, 可換環論での基本的な結果である最短準素イデアル分解の存在を最短G準素分解の存在定理に持ち上げるなど, 基本的な性質を調べた。また, 次数付き環上の環論的性質についての Matijevic-Roberts 型の定理について, これをトーラス作用の場合として特別な場合に持つ, 群スキームの作用に関する結果に拡張した。

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k が正標数の代数閉体, G が k 上の簡約群, P が G のパラボリック部分群, U_P はそのユニポテント根基とする. V　が有限次元 G 加群で, S = Sym V は G 加群として良いフィルター付けを持つと仮定する。このとき, U_P の作用による S の不変式環は, 強F正則な k 上有限生成な代数で Gorenstein UFD となることを証明した。

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k が正標数の代数閉体,G が k　上の簡約群, B がその Borel 部分群, U はそのユニポテント根基とする.
V が有限次元 G 加群で, S = Sym V が G 加群として良いフィルター付けを持つのであれば不変式環 S^U はF純であることを証明した。この定理の祖型は U ではなく G による不変式環を扱った橋本による論文にあり, また, のちに橋本自身によって, この定理は結論がF純から強F正則に強められる。

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体上の正規射影代数多様体上有限個の Weil 因子を与えると多重切断環が生じるが, その上の標準加群を記述した。とくに, 因子類群が有限生成 ZZ 自由加群となる場合に, Cox 環上の標準加群の次数付けについて, その記述を得た。証明には橋本によるねじれ逆像と同変双対化複体に関する研究の結果がトーラス作用について用いられた。

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Matijevic と Paul Roberts によってはじめて示された次数付き環の Cohen-Macaulay 性が斉次な素イデアルによる局所化のみでチェックされるという定理はその後さまざまな環論的性質に一般化されているが, ここでは強F正則性, F純性, Cohen-Macaulay かつ F 入射的という性質について, 同じことを証明する。また, これらのF特異性に関して, その軌跡の開性を論じる。

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同変局所コホモロジーの応用として, 群の作用する状況での局所スキームを定義し, 同変双対化複体, 同変標準加群を論じ, それらを用いて同変 Matlis 双対性, 同変局所双対性を論じ, 可換環論において基本的で重要な Grothendieck による局所双対性定理を群の作用のある状況に一般化した。この定理は不変式論への応用が見込まれる。

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平坦加群からなる複体が acyclic で 0 番目のホモロジーが平坦加群となる必要十分条件として, 基礎環の任意の素イデアルにおける剰余体をテンサーして acyclic になることがあることを示した。応用として非有界な平坦複体, 射影複体の特徴づけを得た。

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局所コホモロジーの概念をスキームの図式に対して拡張し、その基礎付けを論じた。応用として, 体上線形簡約な群スキームが作用する Cohen-Macaulay スキームの作用による幾何学的商は再び Cohen-Macaulay であることを証明した。数学の論文なので著者順は単なるアルファベット順であり, 参加形態は定めていない。

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代数群が可換環に作用するとき, 底変換と不変式環を取る操作は一般には可換ではない。本論文では, 不変式環の候補となる環が, 各体への底変換が実際に不変式環を与えるときに, 任意の環への底変換も不変式環を与えることを示した。

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G/P 内の Schubert 多様体が大域的にF正則であるという, Lauritzen, Raben-Pedersen, Thomsen による結果に別証明を与えた。Bott-Samelson スキームを用いた彼らの手法とは異なり, Mehta-Srinivas による正規性の証明の延長上にある手法で, 次元による帰納法によって証明した。この定理は 表現論で基本的な Demazure の消滅定理を導く。

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De Concini と Procesi による, 不変式論の基本定理の標数一般への拡張について, 代数幾何的議論による別証明を与えた。正規代数多様体から余次元２以上の閉集合を除いても構造層の大域切断のなす環は変わらないという簡単な事実と, 問題の群作用について, 作用を受ける空間, 商空間の双方から適切な余次元２以上の閉部分集合を除くと, 主バンドルが現れることを用いた。

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可換ネーター環 R 上有限生成可換代数 B の純な R 部分代数 A は R 上有限生成であることを証明した。このことから, 体 k　上有限生成代数 B に代数群 G が作用し,, B が G 加群として半単純であれば, 不変式環 B^G は B の直和因子部分環であるので k 上有限生成であることが分かる。これは G 自身の線形簡約性を仮定する Hilbert の定理の精密化である。

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S スキームの射 φ: X -> Y が与えられ, X が S 上有限型のときに, いつ Y も有限型か, という問題に関して, S がエクセレントで, Y が被約で, φが普遍的に開のときにそうなることを示し, その応用として類似のいくつかの定理を示した。特に, G がネータースキーム S 上の平坦かつ有限型な群スキームで, X が universal strict orbit space ならば Y も有限型になることを証明した。

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正標数の代数閉体 k 上の簡約群 G と G の有限次元表現 V に対して, S = Sym V が G 加群として良いフィルター付けを持つならば, 不変式環 S^G は強F正則であることを示し, 多くの例を提示した。強F正則環は Cohen-Macaulay　であるが, 線形簡約とも有限群とも限らない簡約群の不変式環について, Cohen-Macaulay 性を保証する形の定理は初めてのものである。

Publishing type：Research paper (scientific journal)   Kind of work：Joint Work  

Gorenstein 局所環の index と呼ばれる, デルタ不変量を使って定義される不変量について, いくつかの性質を示した。特に, Gorenstein 局所環の間の平坦局所射が与えられたときに, index がどのように振舞うかを考察し, それまでに志田氏によって与えられていた不等式とはある意味逆向きの不等式を得た。

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Generic な対称行列の小行列式で生成されたイデアルについて, その第３ベッチ数が標数による場合があることを表現論的に示した。J. Andersen によって, 第５ベッチ数が標数による場合があることは知られていた。また, この論文では, 第１ベッチ数は常に標数にはよらない, という藏野の定理の簡単な証明も与える。

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パフィアンイデアルの第一シジジの生成元の個数（第一ベッチ数）が標数２で増加する現象は藏野によってはじめて発見されたが, これをより詳しく調べ, 第一ベッチ数を決定した。標数２以外では第一シジジの生成元は線形な関係式のみによって生成されることが藏野によって証明されていたが, 標数２では飛び飛びの次数に様々な生成元が現れることが分かった。

Publishing type：Research paper (scientific journal)   Kind of work：Joint Work  

標数によらない一般線形群の表現を用いて, n+2 次正方行列の n 次の小行列式によって生成された行列式イデアルのベッチ数が標数によらないことを示し, 従ってこのイデアルは有理整数環 ZZ 上定義される極小自由分解を持つことを証明した。

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多重線形代数のq真似を用いて, 任意の可換環上, 量子一般線形群の Weyl 加群, 双対 Weyl 加群の q 真似を Taft-Towber, Dipper-James らとほぼ同時に独立に構成した。また, 標準基底定理を任意の可換環上で証明するなど, 基本性質をいくつか証明した。参加形態について, 数学においては著者順は単にアルファベット順とすることが普通でそれに従ったものであるから何の取り決めもしていない。

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分配束に付随して定義されるアフィン半群環（日比環）の因子類群をその分配束を（バーコフの対応によって）定める半順序集合の言葉で記述した。トーリック多様体の因子類群は有限生成であり, その記述も知られているが, 日比環が正規アフィン半群環であり, 従ってその素スペクトラムがトーリック多様体になることを使った。

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(t+2) × n 行列の t 次の小行列式で生成された行列式イデアルのベッチ数は基礎体の標数に依存せず, 従ってこのイデアルの極小自由分解は有理整数環 ZZ 上構成されることを証明した。これによって, ZZ 上極小自由分解が構成可能な行列式イデアルのサイズが完全に決定された。すなわち, ｍ×n　行列の t 次の小行列で生成された行列式イデアルについて, ZZ 上定義された極小自由分解が存在するための必要十分条件は, t=1 または, t ≧ min(m,n)-2 であることが示された。

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必ずしも同型ではないようなものも含む Yang-Baxter 作用素から定義される対称多元環の類似について論じた。特に, そのような対称多元環の類似上の加群と見た基礎環の自由分解として, Koszul 複体の類似がとれるための条件を与えた。例として, Stanley-Reisner 環や今日でいう日比環等の組合せ論から生じる多元環, グラスマン多様体の斉次座標環などの可換環論からの例, Yang-Baxter 方程式の神保の解から生じる例などがあることを示している。

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行列式イデアルでそのベッチ数が基礎体の標数による為に, 有理整数環 ZZ 上定義された極小自由分解が存在しない場合があることをはじめて示した。より詳しく, m×n行列の t 次の小行列式で生成されたイデアルについて, t が 2 以上で min(m,n)-3 以下であれば, 存在しないことを示した。このような極小自由分解は多くの可換環論研究者によって構成が試みられ、いくつかの特別な場合には実際に構成されていたので、それが一般には不可能であることを示した点で意義があった。

Presentation type：Oral presentation (invited, special)  

Venue：首都大学東京  

日本数学会代数学賞の受賞講演。橋本のこれまでの代数学分野における貢献について, 同変層とその導来圏を調べることによる不変式論への貢献を中心としつつ, 主なものを紹介した。特に, 行列式イデアルとその類似物の極小自由分解に関する研究, 不変式環の環論的性質に関する研究, 有限性の降下に関する研究, 同変加群と同変層に関する研究, 同変因子類群と概主束に関する研究, 不変式環の上のフロベニウス写像とその漸近的挙動の研究とその不変式論への応用などについて講演した。

Audience： University students

審査員として発表を評価した。